Definición y estructura básica de una Derivada

Matemáticamente, definimos una derivada de una función como una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo.

Su definición nos dice: Corresponde a la recta tangente que pasa por un punto de la función.

La fórmula que nos permite obtener la recta tangente , o derivada de la función, tiene la siguiente estructura.

Esta fórmula nos permite calcular la "derivada" de cualquier función real que tenga una derivada respectiva. Además esta nos permite obtener la derivada en cada punto existente. Solo necesitamos de un punto al cual llamaremos "h" y que será el punto donde obtenemos la derivada. Luego de aplicar correctamente el limite con tendencia del punto "h" a 0. Podremos poder obtener la recta que se aplica para la derivada en ese punto.

Pero existen casos donde una función puede cambiar de sentido. Esto ocurre muchas veces en funciones que no son continuas o tienen cambios de signo  definidos por intervalos.

 En los casos donde las funciones se deben re definir para la comodidad del estudiante que requiera saber la derivada de una función en un punto conflictivo.

Para ello la forma correcta de poder determinar la derivada de esta es utilizando derivadas laterales.

Definición: Una función sera derivable en un punto si, y solo si, es derivable por la izquierda y por la derecha (derivadas laterales) en dicho punto y las derivadas laterales coinciden en el mismo valor.

Las derivadas laterales, son útiles para determinar analíticamente la existencia o no de la derivada de una función a tramos, en los puntos extremos de los sub-dominios.

Derivada lateral izquierda:

Derivada lateral derecha:

Luedo de desarrollar en una función las derivadas laterales se evalúa si es derivable esa función en dicho punto, para ello es clave comprobar si las derivadas laterales son identicas.

Sea una funcion F que pertenece a una función real. Tenemos que:

Si  se cumple esta igualdad la función será derivable en el punto establecido.