Puede ocurrir que la función f sea derivable dos veces en todo I y que la función así obtenida x--> f ´´(x) vuelva a ser derivable en un punto "c" perteneciente al intervalo abierto I. Su derivada se llama derivada tercera de f en "c" y se escribe f ´´´(c).
Definición: En general, si existen todas las funciones de derivadas, se les denomina como:
f ´, f ´´ , f ´´´, ...., asi sucesivamente hasta llegar a tener (n-1) derivadas, donde n es un número real natural.
Además, queda definida la derivada de la función como:
Luego, si existe la n-esima derivada de f (x) para todo n perteneciente a los número naturales, es infinitamente derivable en el intervalo abierto I.
Ejemplo:
1.-Sea f una función definida por:
"Hallar las cuatro primeras derivadas de f evaluadas en x;
"Para ello, comenzamos a derivar primero la función original, luego derivamos la derivada primaria , luego la secundaria, así sucesivamente hasta alcanzar la cuarta derivada".
Ejemplo 2: Considerando la función definida por f (x) = x * sen (x)
Calcular la "tercera" derivada de f(x).
"Desarrollando de igual modo, aplicamos primero la derivada a la función original para obtener la derivada en primer grado, luego a la derivada de primer grado, le aplicamos derivación y asi sucesivamente hasta llegar a la derivada pedida.
