Definición y estructura básica de una Derivada

Matemáticamente, definimos una derivada de una función como una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo.

Su definición nos dice: Corresponde a la recta tangente que pasa por un punto de la función.

La fórmula que nos permite obtener la recta tangente , o derivada de la función, tiene la siguiente estructura.

Esta fórmula nos permite calcular la "derivada" de cualquier función real que tenga una derivada respectiva. Además esta nos permite obtener la derivada en cada punto existente. Solo necesitamos de un punto al cual llamaremos "h" y que será el punto donde obtenemos la derivada. Luego de aplicar correctamente el limite con tendencia del punto "h" a 0. Podremos poder obtener la recta que se aplica para la derivada en ese punto.

Pero existen casos donde una función puede cambiar de sentido. Esto ocurre muchas veces en funciones que no son continuas o tienen cambios de signo  definidos por intervalos.

 En los casos donde las funciones se deben re definir para la comodidad del estudiante que requiera saber la derivada de una función en un punto conflictivo.

Para ello la forma correcta de poder determinar la derivada de esta es utilizando derivadas laterales.

Definición: Una función sera derivable en un punto si, y solo si, es derivable por la izquierda y por la derecha (derivadas laterales) en dicho punto y las derivadas laterales coinciden en el mismo valor.

Las derivadas laterales, son útiles para determinar analíticamente la existencia o no de la derivada de una función a tramos, en los puntos extremos de los sub-dominios.

Derivada lateral izquierda:

Derivada lateral derecha:

Luedo de desarrollar en una función las derivadas laterales se evalúa si es derivable esa función en dicho punto, para ello es clave comprobar si las derivadas laterales son identicas.

Sea una funcion F que pertenece a una función real. Tenemos que:

Si  se cumple esta igualdad la función será derivable en el punto establecido. 

Relación entre continuidad y derivabilidad

Teorema: Si f es un función derivable en c, entonces esta función f es continua en c.
esto nos dice que el limite con tendencia de x a un punto "c" al punto indicado de nuestra funcion será igual a la función evaluada en nuestro mismo punto "c".

Esto es lo que debemos demostrar y con esto concluimos que la función será continua en c.

Para ello debemos desarrollar la siguiente ecuación matemática.

Corolario: Si f es derivable en un intervalo abierto I, entonces f es continua en I.
Este corolario nos expresa que toda función que es derivable en un intervalo abierto dentro de los numeros reales, tiene por obviedad el ser un función contínua. El recíproco de este corolario es falso, ya que existen funciones que son continuas pero no son derivables. Un ejemplo es la función f(x)=|x|, y queda demostrado más abajo.

Reglas de derivación.

Teorema: Sea un punto "c" perteneciente a los números reales , y además sea "c" una constante fija. Y sea f una función definida por f(x)=c, para x perteneciente a los números reales tenemos que:

f ´(x)= 0, Para todo valor real que pueda tomar  x dentro de los números reales. "Esto se explica con la fácil idea de que la derivada de todo valor constante que no es acompañada por alguna variable a la que pertenece la derivación será 0.

La demostración de esto queda en la siguiente imagen, que explica la derivada de la funcion f, con el valor h tendiente a c.

Teorema: Sean f,g dos funciones pertenecientes a un intervalo abierto con codominio en los reales, y sea k una constante perteneciente a los números reales. Tenemos las siguientes propiedades que se pueden aplicar a la resolución de operaciones entre estas funciones.

Derivada de funciones trigonométricas

Para la correcta aplicación de la derivada de funciones trigonométricas definida en los números reales, se debe aprender y tener presente las siguientes relaciones trigonométricas básicas.

En el siguiente recuadro podemos ver claramente las funciones sen(x) y cos(x) definidas en un intervalo positivo, cabe destacar que estas funciones son cicloidales y tendran el mismo comportamiento para todo X bien evaluado en los Reales.

Teorema: La función f definida por f(x)= sen(x) es derivada en todo R y su derivada es:

(sen(x))´ =cos(x)

La demostración de dicha definición queda clara en la siguiente fórmula.

Usando trigonometría básica podemos concluir que es correctamente aceptable el decir que la derivada de sen(x) con respecto a todo x es cos(x).

Teorema: La función f definida por f(x)=cos(x) es derivable en todo R y su derivada es

(cos(x))´= -sen(x)

La demostración de esta definición se realiza bajo los criterios de la "definición de la derivada" y esta es la siguiente:

Otras derivadas impotantes quedan determinadas por las siguientes fórmulas matemáticas.

-   ( tan(x) )´ = sec^2 (x) = 1 + tan^2 (x)

-   ( cot(x) )´ = -cosec^2 (x) = -( 1+  cot^2 (x) )

-   ( sec(x) )´ = sec (x) * tan (x)

-   (csec(x) )´= -cosec (x) * cotang (x)

Regla de la cadena

La regla de la cadena es una forma que simplifica el desarrollo de una derivada. Aquí es donde la regla de la cadena tiene un rol fundamental en el buen desarrollo de una derivada, esta nos permite entre otras cosas , simplificar la cantidad de pasos que se emplean para desarrollar una derivada.

Por tanto, Sean dos funciones llamadas f,g con codominio en los Reales. la función compuesta por f º g es derivable con la derivada:

(g º f)´ (x) = [g ( f (x) )]` = g´ (f  (x) ) f ´ (x).

Con la correcta utilización de esta fórmula es posible desarrollar de manera mucho más simple funciones compuestas por 2 o mas funciones .
Para explicar de forma mas fácil esto, es que desarrollaremos un ejercicio que explique la forma de desarrollo de esta .

Ejemplo: Encontrar la derivada de g´(x) si g es una funcion compuesta definida por:

g(x)=(x^4 - 1)^50 , (^= corresponde a un valor elevado)

Luego la derivada de primer grado de  esta función queda dada por: 

Así, podemos llegar a la derivada más exacta de una función sin tener que pasar por la definición de esta.

Ejercicios Resueltos: Utilizando la regla de la cadena , se dará a conocer la derivada de cada una de estas funciones.

1.- Hallar g´(x), donde g(x) = sen^3(x)

 " Debemos agregar que f es derivable por ser una función trigonométrica con derivada f´(x)= cos(x). Por tanto el desarrollo correcto de la derivada de la función corresponderá a :

2.- Hallar g´(x) , donde g(x) = cos (x^4 + 2x )

"Ahora debemos consideran 2 funciones f y h , que son funciones definidas por f(x)= x^4 + 2x y , h(x) = cos(x). Entonces g(x)=h(f(x)), donde f y h son derivables, con derivadas f´(x) = 4x^3 +2 y h´(x)= -sen(x). Luego respectivamente cambiando los valores en lo siguiente obtenemos que:

Derivadas de orden superior

Puede ocurrir que la función f sea derivable dos veces en todo I y que la función así obtenida x--> f ´´(x) vuelva a ser derivable en un punto "c" perteneciente al intervalo abierto I. Su derivada se llama derivada tercera de f en "c" y se escribe f ´´´(c).

Definición: En general, si existen todas las funciones de derivadas, se les denomina como:
 f ´, f ´´ , f ´´´, ...., asi sucesivamente hasta llegar a tener (n-1) derivadas, donde n es un número real natural.
Además, queda definida la derivada de la función como:

Luego, si existe la n-esima derivada de f (x) para todo n perteneciente a los número naturales, es infinitamente derivable en el intervalo abierto I. 

Ejemplo:
1.-Sea f una función definida por:

"Hallar las cuatro primeras derivadas de f evaluadas en x;
"Para ello, comenzamos a derivar primero la función original, luego derivamos la derivada primaria , luego la secundaria, así sucesivamente hasta alcanzar la cuarta derivada".

Ejemplo 2: Considerando la función definida por f (x) = x * sen (x)

Calcular la "tercera" derivada de f(x).

"Desarrollando de igual modo, aplicamos primero la derivada a la función original para obtener la derivada en primer grado, luego a la derivada de primer grado, le aplicamos derivación y asi sucesivamente hasta llegar a la derivada pedida.